平成２４年度　　水力学授業ノート３

	回 日時 要項 �@ 6/12-1 水の物性・燃焼の３要素 �A 6/12-2 国際単位系・重力単位系 �B 6/19-1 大気圧、絶対圧・ゲージ圧 �C 6/19-2 水の流れ・水圧　 �D 6/26-1 ベルヌーイの式 ベルヌーイの式の活用１ �E 6/26-2 ベルヌーイの式の活用２ �F 7/05-1 ベルヌーイの式の活用３ 摩擦損失・圧力損失１ �G 7/05-2 摩擦損失・圧力損失２ 反動力・水撃作用 �H 7/05-3 吸水高さに及ぼす因子・まとめ 背景色がこの色は 授業を受けて、理解し覚えてもらいたいこと 背景色がこの色は 授業を受けて、理解し覚えてもらい、活用できるようになってもらいたいこと 上記の二つは最低限のことで、授業を受けて、より多く理解し覚えて、活用できるようになってください。 知識が豊富なことは人生を豊かにしてくれます。
ベルヌーイの定理 top へ	ベルヌーイの定理 ベルヌーイの定理とは、流体の有する機械的エネルギーの収支式である。 　ｐ1 ρ ＋ 　ｖ12 ２　 ＋ ｇｚ1 ＝ 　ｐ2 ρ ＋ 　ｖ22 ２　 ＋ ｇｚ2 　　［Ｊ／ｋｇ］ 　ｐ：圧力[Pa]　　ρ：密度[kg／m3]　　ｖ：流速[m／s]　　 　ｚ：基準面からの高低差[m]　　ｇ：重力加速度[9.8m／s2] 　　流体１ｋｇあたりの有するエネルギーを[Ｊ]であらわしている。 ベルヌーイの式の 　第１項目は圧力エネルギーの項、 　第２項目は運動エネルギーの項、 　第３項目は位置エネルギーの項、 と呼ばれる。
圧力E.の項 top へ	圧力エネルギーの項 圧力による仕事は 「する仕事」＝（圧力）×（体積変化）＝（圧力）×（断面積）×（動かした距離） 　　＝ｐ×Ａ×ℓ　[ｋｇ／（ｍ×ｓ2）][ｍ2][ｍ］＝[ｋｇ×ｍ2／ｓ2］＝［Ｊ］ で表されます。 また、この体積内の水の質量は 　「水の質量」＝ｍ＝体積×密度＝Ａ×ℓ×ρ　［ｍ2］［ｍ］［ｋｇ／ｍ3］＝［ｋｇ］ で表されます。 ベルヌーイの式では単位質量あたり（水１ｋｇあたり）のエネルギーと定義されていますので 圧力 エネルギー の項 ＝ 「する仕事」[Ｊ] 「水の質量」[ｋｇ] ＝ ｐ×Ａ×ℓ　 Ａ×ℓ×ρ ＝ ｐ ρ　 ＝［Ｊ／ｋｇ］ 教科書の図では　質量ｍ＝ｐＡℓ[ｋｇ]　となっていますが 正しくは　　質量＝ρＡℓ[ｋｇ]です。 　ｐ ρ ＝ 　Ｐａ ｋｇ／ｍ3 ＝ 　ｋｇ／（ｍ×ｓ2） ｋｇ／ｍ3 ＝ ｍ2 ｓ2 ＝ ｋｇ×ｍ2 ｓ2×ｋｇ ＝ Ｊ／ｋｇ 　Ｐａ＝Ｎ／ｍ2＝ｋｇ×ｍ／（ｓ2×ｍ2）＝ｋｇ／（ｍ×ｓ2） 　Ｊ＝ｋｇ×ｍ2／ｓ2
運動E.の項 top へ	運動エネルギーの項 ｖ2 ２　 ＝ （ｍ／ｓ）2 −　 ＝ 　ｍ2 ｓ2 ＝ ｋｇ×ｍ2 ｓ2 １ ｋｇ　 ＝ Ｊ× １ ｋｇ　 ＝［Ｊ／ｋｇ］
位置E.の項 top へ	位置エネルギーの項 ｇｚ ＝ 　ｍ 　ｓ2 ×ｍ＝ 　ｍ2 　ｓ2 ＝ ｋｇ×ｍ2 ｓ2 １ ｋｇ　 ＝ Ｊ× １ ｋｇ　 ＝［Ｊ／ｋｇ］
水頭 top へ	水頭　Water　Head エネルギーを長さの単位［ｍ］で表す。 　ｐ1 ρ ＋ 　ｖ12 ２　 ＋ 　ｇｚ1 ＝ 　ｐ2 ρ ＋ 　ｖ22 ２　 ＋ 　ｇｚ2 　　［Ｊ／ｋｇ］ 　また、この式の両辺を重力加速度ｇで割ると ｐ1 ρｇ ＋ ｖ12 ２ｇ ＋　ｚ1　＝ ｐ2 ρｇ ＋ ｖ22 ２ｇ ＋　ｚ2　　［ｍ］ 　　エネルギーの項が、長さの単位[ｍ]であらわされている。このような表現をWater_Headと呼び、日本では水頭と呼ぶ。 各々の記号は、ｐ：圧力[Pa]　　ρ：密度[kg／m3]　　ｖ：流速[m／s]　　 　　ｚ：基準面からの高低差[m]　　ｇ：重力加速度[9.8m／s2]
ベルヌーイの式 top へ	ベルヌーイの式の応用１ 大きな水槽があり、水槽の壁面に水面より１０ｍの所に孔を開けた。この孔から飛び出す水の流速は毎秒何ｍであるか。求めよ。 このような問題を解くのにはベルヌーイの式が役立つ。 　ｐ1 ρ ＋ 　ｖ12 ２　 ＋ ｇｚ1 ＝ 　ｐ2 ρ ＋ 　ｖ22 ２　 ＋ ｇｚ2 　　［Ｊ／ｋｇ］ 水面を１の位置、水が飛び出している所を２の位置として、ベルヌーイの式を当てはめる。 大きな水槽なので、水面の降下速度　ｖ1≒０とみなせる。 水面にかかる圧力も、孔から飛び出す水にかかる圧力も、どちらも大気圧であるから、ｐ1＝ｐ2である。 これらを式に当てはめると。 　ｐ1 ρ ＋ 　ｖ12 ２　 ＋　ｇｚ1　＝ 　ｐ2 ρ ＋ 　ｖ22 ２　 ＋　ｇｚ2　　　［Ｊ／ｋｇ］ 結果として、３項は消去できる。 　ｖ22 ２　 　＝　ｇｚ1　−　ｇｚ2　　［Ｊ／ｋｇ　＝　ｍ2／ｓ2］ となり、 　ｖ2　＝　２ｇ（ｚ1　−　ｚ2）　　［ｍ2／ｓ2］ となり、 　ｖ2　＝　 √２ｇ（ｚ1　−　ｚ2）　　 　　［ｍ／ｓ］ ここで、（ｚ1　−　ｚ2）　は、水面と孔の高低差（水深）なので　ｈ[ｍ]とすると また、式を一般化するためにｖ2の添え字を取ると、 　ｖ　＝　 √２ｇｈ　 　　［ｍ／ｓ］ この問題では水深ｈ＝１０ｍなので、 　ｖ　＝　 √２×9.8×１０　 　＝　 √１９６ ＝１４［ｍ／ｓ］ となり、水深１０の孔から飛び出す水の速度は１４ｍ／ｓと求められる。　　 　ｖ　＝　 √２ｇｈ　 　　［ｍ／ｓ］ なお、この式は水深と飛び出し速度の関係式なので、水槽でなくてもダムに開けた水門からの飛び出し速度も計算できる。ただ、ここでは触れていないが流水抵抗のために実際の値は少し遅くなる。 大きな水槽があり、水槽の壁面に水面より１０ｍの所に孔を開けた。この孔から飛び出す水の流速は毎秒何ｍであるか。求めよ。 　ｖ　＝　 √２ｇｈ　 　　［ｍ／ｓ］ この問題では水深ｈ＝１０ｍなので、 　ｖ　＝　 √２×9.8×１０　 　＝　 √１９６ ＝１４［ｍ／ｓ］ となり、水深１０の孔から飛び出す水の速度は１４ｍ／ｓと求められる。
ベルヌーイの式 top へ	ベルヌーイの式の応用２　ピトー管の原理 　ｐ1 ρ ＋ 　ｖ12 ２　 ＋ 　ｇｚ1 ＝ 　ｐ2 ρ ＋ 　ｖ22 ２　 ＋ 　ｇｚ2 　　［Ｊ／ｋｇ］ ピトー管の側部の穴を１の位置、ピトー管の先端を２の位置として、ベルヌーイの式を当てはめる。 ピトー管の先端はある程度水が押し込むがマノメータのバランスが取れるともう流れ込まないので、　ｖ2＝０となる。 水平に設置すると、基準面からの高低差は同じになるので、ｚ1＝ｚ2になる。 これらを式に当てはめると。 　ｐ1 ρ ＋ 　ｖ12 ２　 ＋ ｇｚ1 ＝ 　ｐ2 ρ ＋ 　ｖ22 ２　 ＋ ｇｚ2 　　［Ｊ／ｋｇ］ の３項は消去できる。また、 　ｐ＝ρｇｈ　　[Ｐａ] 　ｖ12 ２　 ＝ 　ｐ2 ρ − 　ｐ1 ρ ＝ 　ρｇｈ2 ρ − 　ρｇｈ1 ρ 　　［Ｊ／ｋｇ］ となり、　ｈ1−ｈ2　＝　ｈとすると 　ｖ12　＝　２ｇ（ｈ2−ｈ1）　＝　２ｇｈ 　　［Ｊ／ｋｇ＝ｍ2／ｓ2］ となり、 　ｖ1　＝　 √２ｇｈ　 　　［ｍ／ｓ］ となる。 また、式を一般化するためにｖ1の添え字を取ると 　ｖ　＝　 √２ｇｈ　 　　［ｍ／ｓ］ また、 　ｈ＝１０２ｐ　　ｈ：[ｍ]　　ｐ：[MPa] 　ｖ　＝　 √２ｇ×１０２ｐ　 ＝ √2000ｐ ＝　44.7√ｐ 　　［ｍ／ｓ］ 　ｖ　＝　 　44.7√ｐn 　ｖ：飛び出し速度［ｍ／ｓ］　　ｐn：ノズル圧[MPa] この式は、ノズル圧ｐn　をピトーゲージで測ると、筒先からの飛び出し速度が求まる。 　筒先口径２ｃｍの筒先より放水している。今、ピトーゲージを用いて筒先圧力を測ったところ０.２５ＭＰａであった。ノズルからの飛び出し速度を求めよ。ただし、√0.25＝0.5である。 　ｖ　＝　44.7√ｐn＝44.7√0.25＝44.7×0.5＝22.35 　　答　飛び出し速度は　２２.４ｍ／ｓ
ベルヌーイの式の応用３ top へ	ベルヌーイの式の応用３　ラインプロポ−ショナーの原理 　ｐ1 ρ ＋ 　ｖ12 ２　 ＋ 　ｇｚ1 ＝ 　ｐ2 ρ ＋ 　ｖ22 ２　 ＋ 　ｇｚ2 　　［Ｊ／ｋｇ］ 水平に設置すると、基準面からの高低差は同じになるので、ｚ1＝ｚ2になる。 これを式に当てはめると。 　ｐ1 ρ ＋ 　ｖ12 ２　 ＋ ｇｚ1 ＝ 　ｐ2 ρ ＋ 　ｖ22 ２　 ＋ ｇｚ2 　　［Ｊ／ｋｇ］ の２項は消去できる。 　ｐ1 ρ ＋ 　ｖ12 ２　 ＋ ＝ 　ｐ2 ρ ＋ 　ｖ22 ２　 ＋ 　　［Ｊ／ｋｇ］ と、なる。 ラインプロポーショナの原理図　水流は�@→�Aの方向 ラインプロポ−ショナーを簡単に表すと上の図のようになり、�@は普通の配管の場所で、管径を急に縮小した部分�Aを設け通過後はまた元の管径に戻す。そして、管径の縮小部に枝管を設ける。 普通水の流れている管に孔を開けると水が飛び出してくる。このように縮小部を設けてその部分に孔をあけるとどうなるであろうか。 今　�@の圧力を0.24［ＭPa］ 　　�@の断面積　Ａ1＝0.0033［ｍ2］　�Aの断面積　Ａ2＝0.00037［ｍ2］　 　管径を1/3にすると管断面積は1/9になる。 　　�@の流速　ｖ1＝2.5［ｍ／ｓ］　 　と、すると 　水流連続の式　　Ｑ　＝　　Ａ1ｖ1　＝　Ａ2ｖ2　 　から、ｖ2＝22.5［ｍ／ｓ］　と、なる。 　水流連続の式から流速は９倍になる 　また、水の密度ρ＝1000［kg／ｍ3］である。これらを式に代入すると 　240000 1000 ＋ 　2.52 ２　 ＋ ＝ 　ｐ2 1000 ＋ 　22.52 ２　 ＋ 　　［Ｊ／ｋｇ］ 　　240　＋　3.125　＝ｐ2／1000　＋　253.　　　 　　ｐ2／1000　＝　-9.9　＝　-10 　ｐ2　＝　−10000　［Pa］　＝　−10　［ｋPa］　≒　−１［ｍAq］ すなわち、孔から水が飛び出すどころか、水柱１ｍの力で吸い込む力があることになる。ラインプロポ−ショナーは、このような原理で、圧入ポンプを使わずに放水中の水に自らの流体の有するエネルギーを使って、薬液や色素水を吸い込むことが出来る装置である。
放水量 top へ	放水量 　筒先からの飛び出し速度が分り、筒先口径が分ると　Ｑ＝Ａｖ　から、放水量が求まる。 　Ｑ　＝　ｃ×Ａ×ｖ　＝　ｃ×π×（ｄｃ／２）2×44.7√ｐn　　 ｃ：速度係数＝0.99　ｄｃ：cm　　ｖ：［ｍ／ｓ］　ｐn：[MPa] 　Ｑ　＝　0.99×π×（ｄｃ／２）2×44.7√ｐn＝０.２０８５ｄｃ2√ｐn ｄｃ：ノズル口径[cm]　　Ｑ：放水量[ｍ3／min]　　ｐn：ノズル圧[MPa] 　Ｑ　＝　０.２０８５ｄｃ2√ｐn ｄｃ：ノズル口径[cm]　　Ｑ：放水量[ｍ3／min]　　ｐn：ノズル圧[MPa] 　筒先口径２ｃｍの筒先より放水している。今、ピトーゲージを用いて筒先圧力を測ったところ０.２５ＭＰａであった。ノズルからの放水量[ｍ3／min]を求めよ。 　Ｑ　＝　0.2085ｄｃ2√ｐn　＝　0.2085×2×2×0.5　＝　0.417 　　答　放水量は　０.４１７　ｍ3／min
摩擦損失・圧力損失 top へ	摩擦損失・圧力損失 太さ一様の長いパイプが水平に置かれている。その中を水が流れている。 この状態にベルヌーイの式を当てはめてみる 　ｐ1 ρ ＋ 　ｖ12 ２　 ＋ ｇｚ1 ＝ 　ｐ2 ρ ＋ 　ｖ22 ２　 ＋ ｇｚ2 　　［Ｊ／ｋｇ］ 流れの上流に１の位置、下流に２の位置を設定すると 太さ一様なパイプなら、Ａ1　＝　Ａ2　 水流連続の理から　Ａ1ｖ1　＝　Ａ2ｖ2　から　ｖ1　＝　ｖ2　 水平に置かれていることから、基準面からの高さは同じであるから 　ｚ1　＝　ｚ2　となる。 これらを上の式に当てはめると４項は消去される。圧力の項が残る。ρは水の密度なので、変化しない。 　ｐ1 ρ ＋ 　ｖ12 ２　 ＋ 　ｇｚ1 ＝ 　ｐ2 ρ ＋ 　ｖ22 ２　 ＋ 　ｇｚ2 　　［Ｊ／ｋｇ］ 結果として、ｐ1　＝　ｐ2　得られるが、実験をすると実際には　ｐ1　＞　ｐ2　となる。 すなわち、１の位置から２の位置に水が動く間に、水の有するエネルギーが減少したことになる。それが圧力エネルギーの項の減少としてあらわれるので「圧力損失」と表現される。 実際には流体どおしの摩擦、また流体と管壁との摩擦のために圧力エネルギーが熱エネルギーに変化して、圧力減少として現れるのである。 さほど高低差の無い場合でも、長い距離の送水で中継送水しなければいけないのは摩擦損失によるエネルギー消耗に対するエネルギー補給である。